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试题

圆柱型金属饮料罐的容积V一定时，它的高h与底面半径R具有怎样的关系时，才能使所用材料最省？

（本小题满分12分）
解：如图，饮料罐的表面积S=2πRh+2πR²．…（2分）
由V=πR²h，得 $\text{[math]}$ ，则
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（R＞0）…（4分）
所以S= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，S取得最小值．…（10分）
把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，即h=2R．…（11分）
答：当饮料罐的高与底面的直径相等时，所用材料最省． …（12分）
分析：由题意求出饮料罐的表面积，求出体积，推出表面积与圆柱底面半径的关系式，通过不等式求出面积的最小值．
点评：本题是中档题，考查圆柱的表面积与体积的关系，不等式的应用，考查计算能力．

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