分析 (Ⅰ)由$sin(B+C)=\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$,利用三角形内角和定理与诱导公式可得:$sinA=\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$,利用三角形面积计算公式可得:a2-c2=bc,再利用余弦定理与正弦定理可得:sinB-2sinCcosA=sinC,再利用三角形内角和定理与诱导公式即可证明.
(II)A=2C,可得:sinB=sin3C.利用正弦定理与已知可得:$a=\frac{2sin2C}{sin3C}$,利用三角形面积计算公式可得:S=$\frac{4}{\frac{3}{tanC}-tanC}$,利用C的取值范围与函数的单调性即可得出.
解答 (Ⅰ)证明:由$sin(B+C)=\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$,即$sinA=\frac{2S}{{{a^2}-{c^2}}}$,
∴$sinA=\frac{bcsinA}{{{a^2}-{c^2}}}$,sinA≠0,∴a2-c2=bc,
∵a2=b2+c2-2bccosA,∴a2-c2=b2-2bccosA,
∴b2-2bccosA=bc,∴b-2ccosA=c,
∴sinB-2sinCcosA=sinC,
∴sin(A+C)-2sinCcosA=sinC,∴sinAcosC-cosAsinC=sinC,
∴sin(A-C)=sinC,
∵A,B,C∈(0,π),∴A=2C.
(Ⅱ)解:∵A=2C,∴B=π-3C,
∴sinB=sin3C.
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$且b=2,
∴$a=\frac{2sin2C}{sin3C}$,
∴$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{2sin2CsinC}{sin(2C+C)}$=$\frac{2sin2CsinC}{sin2CcosC+cos2CsinC}$=$\frac{2tan2CtanC}{tan2C+tanC}=\frac{4tanC}{{3-{{tan}^2}C}}=\frac{4}{{\frac{3}{tanC}-tanC}}$,
∵△ABC为锐角三角形,∴$\left\{{\begin{array}{l}{A=2C∈(0,\frac{π}{2})}\\{B=π-3C∈(0,\frac{π}{2})}\\{C∈(0,\frac{π}{2})}\end{array}}\right.$,
∴$C∈(\frac{π}{6},\frac{π}{4})$,∴$tanC∈(\frac{{\sqrt{3}}}{3},1)$,
∵$S=\frac{4}{{\frac{3}{tanC}-tanC}}$为增函数,
∴$S∈(\frac{{\sqrt{3}}}{2},2)$.
点评 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式、三角形内角和定理、诱导公式、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
年份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收入y(千元) | 21 | 24 | 27 | 29 | 31 |
受培时间一年以上 | 受培时间不足一年 | 总计 | |
收入不低于平均值 | 60 | 20 | 80 |
收入低于平均值 | 10 | 10 | 20 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充分必要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | |a|>|b| | B. | lg(a-b)>0 | C. | ${({\frac{1}{2}})^a}<{({\frac{1}{2}})^b}$ | D. | 2a>3b |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0 | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | $\frac{3π}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$ | B. | 3或-2 | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
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