Question

已知函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，在x=-2时取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若g（x）=x²+x+b，是否存在实数b，使得方程f（x）=g（x）在区间[0，2]上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数在x=-2时取得极值，得到f'（-2）=0，然后解出a．
（Ⅱ）利用导数求出函数在x∈[

1

e

-1，e-1]的最大值．
（Ⅲ）构造函数F（x）=f（x）-g（x），然后通过F（x）的图象和性质研究在[0，2]上的取值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x+2-

2(1+x)a

(x+1)2

=2(x+1)-

2a

x+1

，
函数在x=-2时取得极值，所以f'（-2）=-2+2a=0，解得a=1．
所以f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′(x)=2(x+1)-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

，由f'（x）=0得x=0或x=-2（舍去）．
当x∈[

1

e

-1，0]，f′(x)＜0，当x∈[0，e-1]，f'（x）＞0．所以函数的极小值为f（0），最大值为f(

1

e

-1)=

1

e2

+2或f（e-1）=e²-2．
因为e2-2＞

1

e2

+2，所以最大值为f（e-1）=e²-2，所以m＞e²-2．
（Ⅲ）设F（x）=f（x）-g（x）=（1+x）²-ln?（1+x）²-x²-x-b=x-ln（1+x）²+1-b，
F′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，由F'（x）＞0得1＜x＜2，由F'（x）＜0得0＜x＜1，所以函数F（x）的增区间为（1，2），减区间为（0，1）．
所以极小值为F（1）=2-b-ln4，又F（0）=1-b，F（2）=3-b-ln9，所以要使方程f（x）=g（x）在区间[0，2]上恰有两个相异实数根，
则有F（1）＜0，且F（0）＞0，F（2）＞0，解得2-2ln2＜b＜3-2ln3．
即b的范围2-2ln2＜b＜3-2ln3．

点评：本题考查了导数在研究函数单调性和最值的应用，综合性较强，运算量极大．