Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为

6

3

，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且

AP

•

AQ

=0．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的解析式得到b=1，再利用椭圆的性质a²+b²=c²列出关系式，与e=

c

a

=

6

3

联立组成方程组，求出方程组的解得到a与c的值，即可确定出椭圆的解析式；
（Ⅱ）由

AP

•

AQ

=0，利用平面斜率数量积为0时两向量垂直得到AP与AQ垂直，可得出AP与坐标轴不垂直，由A的坐标设出直线AP的方程为y=kx+1，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1表示出直线AQ的方程，将y=kx+1代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐标，将直线AQ方程代入椭圆方程，同理表示出Q的坐标，由P与Q的坐标，表示出直线l的两点式方程，整理后可得出直线l恒过定点N（0，-

1

2

）．

解答：解（Ⅰ）依题意有：e=

c

a

=

6

3

①，a²-c²=b²=1②，
联立①②解得：a=

3

，c=

2

，
则椭圆C的方程为

x2

3

+y²=1；
（Ⅱ）证明：由

AP

•

AQ

=0，得到AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，
由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，得到直线AQ的方程为y=-

1

k

x+1（k≠0），
将y=kx+1代入椭圆C的方程

x2

3

+y²=1中，并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得：x=0或x=-

6k

1+3k2

，
∴P的坐标为（-

6k

1+3k2

，-

6k2

1+3k2

+1），即（-

6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

），
将上式中的k换成-

1

k

，同理可得Q（

6k

k2+3

，

k2-3

k2+3

），
∴直线l的方程为y=

k2-3 k2+3 - 1-3k2 1+3k2

6k k2+3 + 6k 1+3k2

（x-

6k

k2+3

）+

k2-3

k2+3

，
整理得：直线l的方程为y=

k2-1

4k

x-

1

2

，
则直线l过定点N（0，-

1

2

）．

点评：此题考查了恒过定点的方程，以及椭圆的标准方程，涉及的知识有：椭圆的基本性质，平面向量的数量积运算，以及直线的两点式方程，其计算性较大，是一道综合性较强的试题．