练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2
    		2
    ．
    （1）求异面直线PC与AD所成角的大小；
    （2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等PC与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；
    （3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段GC上运动时，试提出一个研究有关四面P-BMN的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决．
    （说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数）
    分析：（1）解法一：由已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，可得PC与AD所成的角即为∠PCB，解三角形PCB即可得到异面直线PC与AD所成角的大小．
    解法二：以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线PC与AD的方向向量，代入向量夹角公式即可得到异面直线PC与AD所成角的大小．
    （2）解法一：过Q作QF⊥AB，垂足为F，连接PF，可证得PQ与AD所成角即为∠PQF=60°，在平面ABCD中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，建立平面直角坐标系．设动点Q（x，y），根据|QF|=|y|=
    |PF|
    tan60°
    ，可得到一个关于x，y的关系式，整理可得曲线E的轨迹方程，即可得到曲线E的形状．
    解法二：以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，由该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等PC与AD所成角，分别求出向量
    PQ
    与
    AD
    的坐标，代入向量夹角公式，可得到一个关于x，y的关系式，整理可得曲线E的轨迹方程，即可得到曲线E的形状．
    （3）在xOy的坐标系中，设G（x1，y1）求出直线DC的方程后，代入双曲线E：3y2-x2=4的方程，根据韦达定理及直线DC与双曲线E交于点C，可以求出x，y的取值范围，进而根据二次函数的性质，求出圆的半径|BQ|的取值范围，进而我们可以分别研究问题一：求四面体P-BMN体积的取值范围．问题二：求侧棱PM与底面BMN所成角大小的取值范围．问题三：求侧棱PN与底面BMN所成角大小的取值范围．问题四：求侧面PMN和底面BMN所成的二面角P-MN-B大小的取值范围等．
    解答：精英家教网解：（1）解法一：由题意，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，
    则PC与AD所成的角即为∠PCB．
    因为DA⊥AB⇒BC⊥AB，又PA⊥平面ABCD，
    所以BC⊥平面ABCD，则有∠PBC=90°．
        因为PB=
    		PA2+AB2
    =2
    		3
    ，BC=2，
    所以tan∠PCB=
    PB
    BC
    =
    		3
    ，则∠PCB=60°，
    即异面直线PC与AD所成角的大小为60°．
    解法二：如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．
    于是有P（0，0，2）、C（2
    		2
    ，2，0），则有
    PC
    =（2
    		2
    ，2，-2），又
    AD
    =（0，1，0）
    则异面直线PC与AD所成角θ满足cosθ=
    |
    PC
    •
    AD
    |
    |
    PC
    |•|
    AD
    |
    =
    1
    2
    ，
        所以，异面直线PC与AD所成角的大小为60°
    （2）解法一：由条件，过Q作QF⊥AB，垂足为F，连接PF．
    于是有AD∥QF，故PQ与AD所成角即为∠PQF=60°．
    在平面ABCD中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，建立平面直角坐标系．设动点Q（x，y），
    则有|PF|=
    		PA2+AF2
    =
    		4+x2

    又QF⊥平面PAB，所以QF⊥PF．
    所以|QF|=|y|=
    |PF|
    tan60°
    =
    4+x2
    3
    ，
    即3y2-x2=4．
    所以，可判定曲线E是双曲线．
    （2）解法二：如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．
    设Q（x，y，0），P（0，0，2）、D（0，1，0），
    则有
    PQ
    =（x，y，-2），又
    AD
    =（0，1，0）
    由
    PQ
    •
    AD
    =±|
    PQ
    |•|
    AD
    |•cos
    π
    3
    ，
    化简整理得到3y2-x2=4，则曲线E是平面ABCD内的双曲线．
    （3）在如图所示的xOy的坐标系中，因为D（0，1）、C（2
    		2
    ，2）、B（2
    		2
    ，0），
    设G（x1，y1）．则有
    DC
    =（2
    		2
    ，1），故DC的方程为
    x
    2
    		2
    =
    y-1
    1
    ，
    代入双曲线E：3y2-x2=4，的方程整理后可得5y2-16y+12=0，其中y1•y2=
    12
    5
    ．
    因为直线DC与双曲线E交于点C，故y1=
    6
    5
    ．进而可得x1=
    2
    		2
    5
    ，即G（
    2
    		2
    5
    ，
    6
    5
    ）．
    故双曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的区域满足x∈[
    2
    		2
    5
    ，2
    		2
    ]，y∈[
    6
    5
    ，2]．
    又设Q（x，y）为双曲线段CG上的动点x∈[
    2
    		2
    5
    ，2
    		2
    ]，
    所以，|BQ|=
    		(x-2
    		2
    )2+y2
    =
    4
    3
    (x-
    3
    		2
    2
    )    2    +
    10
    3
            
    因为
    3
    		2
    2
    ∈[
    2
    		2
    5
    ，2
    		2
    ]，
    所以当x=
    3
    		2
    2
    时，|BQ|取最小值
    		30
    3
    ；
    当x
    2
    		2
    5
    =时，|BQ|取最大值
    2
    		41
    5

    而要使圆B与AB、BC都有交点，则|BQ|≤2．
    故满足题意的圆的半径的取值范围是|BQ|∈[
    		30
    3
    ，2]．
    【说明】
    1．若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的，则完整提出问题并解决最高得6分．
    2．若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的，则上述分析过程满分6分；继续深入的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答，最高再得6分．
     问题一：求四面体P-BMN体积的取值范围．
    因为PA⊥DMN，所以P-BMN体积为VP-BMN=
    1
    3
    •PA•S△BMN．故问题可以转化为研究△BMN的面积．
    又因为∠MBN为直角，所以△BMN必为等腰直角三角形．
    由前述，设|BQ|=r∈[
    		30
    3
    ，2]，则|BQ|=|BN|=r，
    故其面积为S△BMN=
    1
    2
    r2，所以S△BMN∈[
    5
    3
    ，2]．
    于是VP-BMN=
    1
    3
    •PA•S△BMN=
    2
    3
    •S△BMN∈[
    10
    9
    ，
    4
    3
    ]．
    （当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标x=
    3
    		2
    2
    时，即|PQ|长度最小时，体积取得最小值）
    问题二：求侧棱PM与底面BMN所成角大小的取值范围．
    解：因为PA⊥BMN，所以∠PMA即为侧棱PM与底面BMN所成角．
    而tan∠PMA=
    PA
    AM
    =
    2
    2
    		2
    -r
    ，r∈[
    		30
    3
    ，2]
    由于
    2
    2
    		2
    -r
    在区间[
    		30
    3
    ，2]内递增，
    所以tan∠PMA∈[1.995，2.414]，即．∠PMA∈[arctan1.995，arctan2.414]，
    问题三：求侧棱PN与底面BMN所成角大小的取值范围．
    解：因为PA⊥BMN，所以∠PNA 即为侧棱PN与底面BMN 所成角．
    因为N（2
    		2
    ，r），所以|AN|=
    		8+r2
    ，
    故tan∠PNA=
    PA
    AN
    =
    2
    		8+r2
    ，r∈[
    		30
    3
    ，2]．
    由于
    2
    		8+r2
    在区间[
    		30
    3
    ，2]内递减，
    所以tan∠PNA∈[
    		3
    3
    ，0.594]，即∠PNA∈[
    π
    6
    ，arctan0.594]．
    问题四：求侧面PMN和底面BMN所成的二面角P-MN-B大小的取值范围．
    解：如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．
    设P（0，0，2）、M（2
    		2
    -r，0，0），N（2
    		2
    ，r，0），
    设平面PMN的法向量为
    n
    =（x，y，z）
    由
    n
    ⊥
    PM
    ，
    n
    ⊥
    MN
    ，可得平面PMN的一个法向量坐标为
    n
    =（1，-1，
    		2
    -
    r
    2
    ）．
    可知，向量
    PA
    =（0，0，2）是平面BMN的一个法向量，于是向量
    PA
    和
    n
    的夹角θ的大小即为二面角P-MN-B平面角的大小．
    而cosθ=
    r-2
    		2
    2
    		2+
    (2
    		2
    -r)2
    4
    =
    r-2
    		2
    		8+(2
    		2
    -r)2
    ，
    经分析可得，cosθ在区间r∈[
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
    E是PC的中点．求证：
    （Ⅰ）CD⊥AE；
    （Ⅱ）PD⊥平面ABE．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
    （1）求证：AD⊥PB；
    （2）求三棱锥P-MBD的体积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
    		2
    ，且侧面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
    （1）求证：PD⊥AC；
    （2）在棱PA上是否存在一点E，使得二面角E-BD-A的大小为45°，若存在，试求
    AE
    AP
    的值，若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
    		3
    ，点F是PB中点．
    （Ⅰ）若E为BC中点，证明：EF∥平面PAC；
    （Ⅱ）若E是BC边上任一点，证明：PE⊥AF；
    （Ⅲ）若BE=
    		3
    3
    ，求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
    		2
    ，设PC与AD的夹角为θ．
    （1）求点A到平面PBD的距离；
    （2）求θ的大小；当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ，求动点Q的轨迹方程．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案