Question

如图，多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由线面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；
（Ⅱ）要证平面PDC⊥平面PAD，只需证明平面PDC垂直于平面PAD内的一条垂涎即可，有面面垂直的性质及解直角三角形即可得到证明．

解答：证明：由多面体PABCD的三视图知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是等腰三角形，PA=PD=

2

，
且平面PAD平面ABCD．
（1）连结AC，则F是AC的中点，
在△CPA中，EF∥PA，
且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA
又PA=AD=

2

，AD=2，∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠PAD=

π

2

，即PA⊥AD
又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PDC，
又PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PDC．

点评：本题考查了面面垂直的判定，考查了直线与平面垂直的性质，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．