【题目】已知、为椭圆: ()的左、右焦点,点为椭圆上一点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若圆是以为直径的圆,直线: 与圆相切,并与椭圆交于不同的两点、,且,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)根据椭圆定义得,再代入点P坐标得(2)由直线与圆相切得,由,利用向量数量积得,联立直线方程与椭圆方程,结合韦达定理代入化简得的值.
试题解析:(1)由题意得: 解得
则椭圆方程为.
(2)由直线与圆相切,得, ,
设, ,
由消去,整理得,
恒成立,
所以, ,
,
∵, ,
解得.
点睛: 直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用韦达定理或求根公式进行转化,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.
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【题目】如图,四棱柱的底面是菱形, , , .
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若,直线上是否存在点,使得与平面所成角的正弦值为.若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有个红球,和个白球的甲箱与装有个红球,和个白球,的乙箱中,各随机摸出个球,若模出的个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(1)用球的标号列出所有可能的模出结果;
(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.
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【题目】已知数列{an}的首项(a是常数),().
(1)求,,,并判断是否存在实数a使成等差数列.若存在,求出的通项公式;若不存在,说明理由;
(2)设,(),为数列的前n项和,求
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【题目】近年来,某市实验中学校领导审时度势,深化教育教学改革,经过师生共同努力,高考成绩硕果累累,捷报频传,尤其是2017年某著名高校在全国范围内录取的大学生中就有25名来自该中学.下表为该中学近5年被录取到该著名高校的学生人数.(记2013年的年份序号为1,2014年的年份序号为2,依此类推……)
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
录取人数 | 10 | 13 | 17 | 20 | 25 |
(1)求关于的线性回归方程,并估计2018年该中学被该著名高校录取的学生人数(精确到整数);
(2)若在第1年和第4年录取的大学生中按分层抽样法抽取6人,再从这6人中任选2人,求这2人中恰好有一位来自第1年的概率.
参考数据:,.
参考公式:,.
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【题目】如图1所示,在中, , , , 为的平分线,点在线段上, .如图2所示,将沿折起,使得平面平面,连结,设点是的中点.
图1 图2
(1)求证: 平面;
(2)在图2中,若平面,其中为直线与平面的交点,求三棱锥的体积.
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