Question

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，F为A₁B₁的中点．求证：
（1）B₁C∥平面FAC₁；
（2）平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （1）如图所示取AB的中点E，连接CE，EB₁，可得面B₁CE∥平面FAC₁，即B₁C∥平面FAC₁
（2）只需证明C₁F⊥面AA₁C₁B₁B，即可得平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

解答 解：（1）证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB₁，
∵F为A₁B₁的中点，∴C₁F∥CE，AF∥B₁E，且C₁F∩AF=F，CE∩B₁E=E，
∴面B₁CE∥平面FAC₁，∵B₁C?B₁CE，
∴B₁C∥平面FAC₁

（2）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥面A₁C₁B₁，∵C₁F?面A₁C₁B₁，∴A₁A⊥C₁F，
∵AC=BC，F为A₁B₁的中点，∴A₁B₁⊥C₁F，且AA₁∩A₁B₁，∴C₁F⊥面AA₁C₁B₁B，
C₁F?面A₁C₁B₁，∴平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

点评 本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．