Question

【题目】若函数y= 的值域是R，且在（﹣∞，1﹣ ）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：依题意，在函数y= 中，令t=x2﹣ax﹣a，则y=log2t；
若函数y= 的值域是R，则二次函数t=x2﹣ax﹣a的最小值小于等于0，有a2+4a≥0，
若f（x）在（﹣∞，1﹣ ）上是减函数，有 ≥1﹣ ，且t（1﹣ ）＞0，
综合有 ，解可得0≤a＜2；
则a的取值范围是0≤a＜2
【解析】在函数y= 中，令t=x2﹣ax﹣a；根据题意，若函数y= 的值域是R，则t的最小值必然小于或等于0，则可得a2+4a≥0，又由f（x）在（﹣∞，1﹣ ）上是减函数，则有 ≤1﹣ ，且t（1﹣ ）＞0，综合三个式子可得不等式组，解可得答案．
【考点精析】利用复合函数单调性的判断方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．