Question

1．对于任意的$m∈[\frac{1}{2}，3]$，不等式t²+mt＞2m+4恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，-5）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得m（t-2）+t²-4＞0，构造函数f（m）=m（t-2）+t²-4，m∈[$\frac{1}{2}$，3]，由单调性可得f（$\frac{1}{2}$）＞0，且f（3）＞0，由二次不等式的解法即可得到所求范围．

解答 解：对于任意的$m∈[\frac{1}{2}，3]$，不等式t²+mt＞2m+4恒成立，
即为m（t-2）+t²-4＞0，构造函数f（m）=m（t-2）+t²-4，m∈[$\frac{1}{2}$，3]，
即有f（$\frac{1}{2}$）＞0，且f（3）＞0，
即为$\frac{1}{2}$（t-2）+t²-4＞0，且3（t-2）+t²-4＞0，
即有t＞2或t＜-$\frac{5}{2}$且t＞2或t＜-5，
解得t＞2或t＜-5．
故答案为：（-∞，-5）∪（2，+∞）．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意构造函数运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．