Question

已知点P(3,4)是椭圆+＝1(a>b>0)上的一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，若PF₁⊥PF₂，试求：

（1）椭圆方程；

（2）△PF₁F₂的面积.

Answer 1

（1）法一：令F₁(－c,0)，F₂(c,0)，
∵PF₁⊥PF₂，∴kPF₁·kPF₂＝－1，
即·＝－1，解得c＝5，
∴椭圆方程为＋＝1.
∵点P(3,4)在椭圆上，
∴＋＝1，
解得a²＝45或a²＝5，
又a>c，∴a²＝5舍去，
故所求椭圆方程为＋＝1.
法二：∵PF₁⊥PF₂，
∴△PF₁F₂为直角三角形，
∴|OP|＝|F₁F₂|＝c.
又|OP|＝＝5，∴c＝5，
∴椭圆方程为＋＝1(以下同法一)

（2）法一：P点纵坐标的值即为F₁F₂边上的高，
∴S△PF₁F₂＝|F₁F₂|×4＝×10×4＝20.
法二：由椭圆定义知：|PF₁|＋|PF₂|＝6①
又|PF₁|²＋|PF₂|²＝|F₁F₂|²②
①²－②得2|PF₁|·|PF₂|＝80，
∴S△PF₁F₂＝|PF₁|·|PF₂|＝20