Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（

3

，0）
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由双曲线的右焦点与右顶点易知其标准方程中的c、a，进而求得b，则双曲线标准方程即得；
（2）首先把直线方程与双曲线方程联立方程组，然后消y得x的方程，由于直线与双曲线恒有两个不同的交点，则关于x的方程必为一元二次方程且判别式大于零，由此求出k的一个取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出x_A+x_B，x_Ax_B，进而把条件

OA

•

OB

＞2转化为k的不等式，又求出k的一个取值范围，最后求k的交集即可．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
由已知得a=

3

，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1．
（2）将y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k2≠

1

3

且k2＜1．①
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
则xA+xB=

6 2 k

1-3k2

，xAxB=

-9

1-3k2

，由

OA

•

OB

＞2得x AxB+yAyB＞2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+

2

)(kxB+

2

)=(k2+1)xAxB+

2

k(xA+xB)+2=(k2+1)

-9

1-3k2

+

2

k

6 2 k

1-3k2

+2=

3k2+7

3k2-1

．
于是

3k2+7

3k2-1

＞2，即

-3k2+9

3k2-1

＞0，解此不等式得

1

3

＜k2＜3．②
由①、②得

1

3

＜k2＜1．
故k的取值范围为(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．