Question

19．下列命题：①已知f（x）在[a，b]上连续，且${∫}_{a}^{b}$f（x）dx＞0，则f（x）＞0；②应用微积分基本定理有${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x}$dx=F（2）-F（1），则F（x）=ln（-x）；③${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx；④${∫}_{0}^{2π}$|sinx|dx=4．其中正确的是（　　）

• A． ①②③④
• B． ③④
• C． ②③④
• D． ②③

Answer 1

分析 分别根据定积分的计算法则计算即可．

解答 解：对于①，设f（x）=x³，则f（x）在[-1，2]上连续，
${∫}_{-1}^{2}$f（x）dx=$\frac{{x}^{4}}{4}$|${\;}_{-1}^{2}$=4-$\frac{1}{4}$＞0，
而当-1＜x＜0时，f（x）＜0，故①错．
对于②，${∫}_{1}^{2}$$\frac{1}{x}$dx=lnx|${\;}_{1}^{2}$=F（2）-F（1），则F（x）=lnx，故②错．
对于③，${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=sin（$\frac{π}{2}$）-sin（-$\frac{π}{2}$）=2，
2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=2（sin（$\frac{π}{2}$）-sin0）=2，故③正确．
对于④${∫}_{0}^{2π}$|sinx|dx=2${∫}_{0}^{π}$sinxdx=-2cosx|${\;}_{0}^{π}$=-2（cosπ-cos0）=4，故④正确．
故选：B．

点评 本题借助于命题真假的判断与应用，考查微积分基本定理，微积分基本运算性质．属于中档题