Question

如图，在三棱锥P—ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.

求证：（1）直线PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

Answer 1

(1)详见解析; (2) 详见解析.

试题分析：(1) 由线面平行的判定定理可知,只须证PA与平面DEF内的某一条直线平行即可,由已知及图形可知应选择DE,由三角形的中位线的性质易知: DE∥PA ,从而问题得证；注意线PA在平面DEG外,而DE在平面DEF内必须写清楚；(2) 由面面垂直的判定定理可知,只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：应选择证DE垂直平面ABC较好,由(1)可知:DE⊥AC,再就只须证DE⊥EF即可；这样就能得到DE⊥平面ABC，又DE平面BDE，从面而有平面BDE⊥平面ABC．
试题解析：(1)因为D，E分别为PC,AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别人棱PC,AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4．
又因为DF＝5，故DF²＝DE²+EF²，所以∠DEF=90^。，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC．
又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．