已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1短轴上的一个顶点与两焦点构成正三角形.过椭圆C的焦点作x轴的垂线截椭圆的弦长为3.设A.B分别为椭圆的左右顶点.M为椭圆上异于A.B的任一点．(1)求椭圆的方程,(2)若直线MA与直线x=4相交于点P.过点P作直线MB的垂直.垂足为H.求点H的轨迹方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）短轴上的一个顶点与两焦点构成正三角形，过椭圆C的焦点作x轴的垂线截椭圆的弦长为3，设A，B分别为椭圆的左右顶点，M为椭圆上异于A，B的任一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线MA与直线x=4相交于点P，过点P作直线MB的垂直，垂足为H，求点H的轨迹方程．

分析（1）由已知中短轴上的一个顶点与两焦点构成正三角形，过椭圆C的焦点作x轴的垂线截椭圆的弦长为3，可得a²，b²，进而得到椭圆的方程；
（2）延长PH，交x轴于点Q，进而得到点H在以BQ为直径的圆上，（不包括BQ两点），可得点H的轨迹方程．

解答解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）短轴上的一个顶点与两焦点构成正三角形，
∴a=2c，…①
又∵过椭圆C的焦点作x轴的垂线截椭圆的弦长为3，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3…②
结合a²=b²+c²得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）延长PH，交x轴于点Q，

设M（x₀，y₀），则AM的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，
当x=4时，y=$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，即P点坐标为：（4，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），
设Q点坐标为（m，0），则k_PQ=$\frac{\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}}{4-m}$=$\frac{6{y}_{0}}{{（x}_{0}+2）（4-m）}$，
∵MB⊥PQ，
∴k_PQ•k_MB=-1，
∴$\frac{6{y}_{0}}{{（x}_{0}+2）（4-m）}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=-1，
即$\frac{6{{y}_{0}}^{2}}{{{（x}_{0}}^{2}-4）（4-m）}$=-1，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，故${{y}_{0}}^{2}=3-\frac{{{3x}_{0}}^{2}}{4}$，
即$\frac{6（3-\frac{{{3x}_{0}}^{2}}{4}）}{{{（x}_{0}}^{2}-4）（4-m）}$=-1，
解得：m=-$\frac{1}{2}$，
∴Q点坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），
∵HQ⊥HB，
∴点H在以BQ为直径的圆上，（不包括BQ两点），
由B点坐标为（2，0），得BQ的中点坐标为（$\frac{3}{4}$，0），|BQ|=$\frac{5}{2}$，
∴H的轨迹方程为：$（x-\frac{3}{4}）^{2}+{y}^{2}=\frac{25}{16}（y≠0）$

点评本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程直线与椭圆的位置综合应用，难度中档．

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