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    已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．

    （1）求｜MF｜+｜NF｜的值；

    （2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.

     

    【答案】

    （1）

    （2）不存在a值，使的成等差数列

    【解析】试题分析：（1）, 以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径的圆为：设，由

    ，，

    （2）假设存在值，使的成等差数列，即  

     ①，∵P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，∴

    由①得，这是不可能的．

    ∴假设不成立．即不存在a值，使的成等差数列．

    考点：抛物线的定义、圆的方程、线线垂直问题。

    点评：本题是抛物线、圆以及直线之间关系的综合题。在求｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜的值时，利用抛物线的定义转化为到准线的距离来求并且把作为一个整体代入，体现了数学上的转化思想和整体代入思想。（2）则利用，从线线垂直斜率之积等于-1来的条件化简。

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为
    		2
    ，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
    π
    4
    的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
    （1）求点P和Q的坐标；
    （2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2003•东城区二模）已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为
    		2
    ，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
    π
    4
    的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
    （Ⅰ）求点P和Q的坐标；
    （Ⅱ）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程；
    （Ⅲ）设点A（t，0）（常数t＞4），当a在闭区间〔1，2〕内变化时，求△APQ面积的最大值，并求相应a的值．

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    科目：高中数学 来源：0108 模拟题 题型：解答题

    已知抛物线y2=4a（x+a）（a＞0），过原点O作一直线交抛物线于A、B两点，如图所示，试求|OA|·|OB|的最小值。

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为
    		2
    ，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为
    π
    4
    的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
    （1）求点P和Q的坐标；
    （2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

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    科目：高中数学 来源：2006年高考第一轮复习数学：8.3 抛物线（解析版） 题型：解答题

    已知抛物线C1：y2=4ax（a＞0），椭圆C以原点为中心，以抛物线C1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为，过抛物线C1的焦点F作倾斜角为的直线l，交椭圆C于一点P（点P在x轴上方），交抛物线C1于一点Q（点Q在x轴下方）．
    （1）求点P和Q的坐标；
    （2）将点Q沿直线l向上移动到点Q′，使|QQ′|=4a，求过P和Q′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程．

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