Question

18．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，命题q：实数x满足log₂x≤2．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若a＞0且?q是?p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入不等式，分别求出关于p，q的x的范围，结合p，q均为真，求出x的范围即可；
（2）根据p是q的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|0＜x≤4}，（3分）
又p∧q为真，所以p真且q真，
由$\left\{{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{0＜x≤4}\end{array}}\right.$，得1＜x＜3
所以实数a的取值范围为（1，3）（5分）
（2）因为￢q是￢p的充分不必要条件，
所以p是q的充分不必要条件，（7分）
又p：{x|a＜x＜3a}，q：{x|0＜x≤4}，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\;}\\{3a≤4}\end{array}}\right.$，解得$0＜a≤\frac{4}{3}$
所以实数a的取值范围为$（{0，\;\frac{4}{3}}]$（10分）．

点评 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，集合的包含关系，是一道中档题．