Question

若关于x的不等式x²-ax-6a＜0有解，且解区间的长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（　　）

A．-25≤a≤1

B．a≤-25或a≥1

C．-25≤a＜0或1≤a＜24

D．-25≤a＜-24或0＜a≤1

Answer 1

分析：先根据不等式x²-ax-6a＜0有解判断出判别式大于0，得到a的范围，再由解的区间长度缩小a的范围即可．

解答：解：设方程x²-ax-6a=0的两根分别为x₁，x₂，则
△＞0，∴a²+24a＞0，∴a＞0或a＜-24
∵解区间的长度就是方程x²-ax-6a=0的两个根的距离
由韦达定理，可得x₁+x₂=a，x₁•x₂=-6a
所以（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=a²+24a
∵长度不超过五个单位长
∴|x₁-x₂|≤5
∴（x₁-x₂）²≤25
∴a²+24a≤25
∴-25≤a≤1
综上，-25≤a＜-24或0＜a≤1
故选D．

点评：本题考查一元二次不等式的应用，考查韦达定理，正确理解题意是关键．