【题目】已知一个动点P在圆x2+y2=36上移动,它与定点Q(4,0)所连线段的中点为M.
(1)求点M的轨迹方程.
(2)过定点(0,﹣3)的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)且满足 + = ,求直线l的方程.
【答案】
(1)解:设M(x,y),动点P(x1,y1),
由中点的坐标公式解得x1=2x﹣4,y1=2y,
由x12+y12=36,得(2x﹣4)2+(2y)2=36,
∴点M的轨迹方程是(x﹣2)2+y2=9
(2)解:当直线L的斜率不存在时,直线L:x=0,与圆M交于 ,
此时x1=x2=0,不合题意.
当直线L的斜率存在时,设直线L:y=kx﹣3,则 ,
消去y,得(1+k2)x2﹣(4+6k)x+4=0, ,
由已知 ,经检验△>0.
综上:直线L为:x﹣y﹣3=0,17x﹣7y﹣21=0
【解析】(1)利用代入法求点M的轨迹方程.(2)当直线L的斜率不存在时,直线L:x=0,满足条件,当直线L的斜率存在时,设直线L:y=kx﹣3,联立直线与圆的方程,利用韦达定理,可求出满足条件的k值,进而得到直线L的方程,最后综合讨论结果,可得答案.
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【题目】如图,甲、乙两位同学要测量河对岸A,B两点间的距离,今沿河岸选取相距40米的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠CDB=90°求A,B两点间的距离.
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【题目】某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品.表是甲流水线样本的频数分布表,图是乙流水线样本的频率分布直方图.
表:甲流水线样本的频数分布表 | ||||||||||||
|
图:乙流水线样本频率分布直方图 |
(Ⅰ)根据图,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数.
(Ⅱ)若将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了件产品,则甲,乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件.
(Ⅲ)根据已知条件完成下面列联表,并回答是否有的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”?
甲生产线 | 乙生产线 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
附: (其中样本容量)
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【题目】综合题。
(1)已知直线l经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)已知直线l经过点P(3,4),且直线l的倾斜角为θ(θ≠90°),若直线l经过另外一点(cosθ,sinθ),求此时直线l的方程.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=60°,D是BC上一点,AB=31,BD=20,AD=21.
(1)求cos∠B的值;
(2)求sin∠BAC的值和边BC的长.
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【题目】已知椭圆 =1(a>b>0)经过点(0, ),离心率为 ,左右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=﹣ x+m与椭圆交于A、B两点,与以F1F2为直径的圆交于C、D两点,且满足 = ,求直线l的方程.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=﹣1,对任意x∈R都有f(x)≥x﹣1,且f(﹣ +x)=f(﹣ ﹣x).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)是否存在实数a,使函数g(x)=log [f(a)]x在(﹣∞,+∞)上为减函数?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
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