Question

15．是否存在实数m与钝角θ，使sinθ与sin（θ-$\frac{π}{3}$）是关于x的方程2x²-3x+m=0的两个实根？若不存在，请说明理由；若存在，求出m与θ的值．

Answer 1

分析 存在，理由为：根据题意，利用韦达定理列出关系式，且根的判别式大于等于0，即可求出m与θ的值．

解答 解：∵sinθ与sin（θ-$\frac{π}{3}$）是方程2x²-3x+m=0的两个实根，
∴sinθ+sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$①；sinθ•sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{m}{2}$②；△=9-8m≥0③，
由①整理得：2sin（θ-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$，即sin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{5π}{6}$，
将θ=$\frac{5π}{6}$值代入②，得m=1；
将m=1代入③，△≥0成立，
则存在这样的实数m与钝角θ，此时θ=$\frac{5π}{6}$，m=1．

点评 此题考查了两家和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．