Question

6．已知复数z₁=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i，z₂=$\frac{3}{a+5}$+（10-a²）i，其中a为实数，i为虚数单位．
（1）若复数z₁在复平面内对应的点在第三象限，求a的取值范围；
（2）若z₁+$\overline{{z}_{2}}$是实数（$\overline{{z}_{2}}$表示z₂的共轭复数），求|z₁|的值．

Answer 1

分析 （1）根据复数的几何意义结合第三象限点到坐标符号建立不等式进行求解，
（2）根据复数的基本运算和概念进行求解．

解答 解：（1）若复数z₁在复平面内对应的点在第三象限，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{1-a}＜0}\\{2a-5＜0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，即1＜a＜$\frac{5}{2}$，即实数a的取值范围是1＜a＜$\frac{5}{2}$．
（2）∵z₂=$\frac{3}{a+5}$+（10-a²）i，∴$\overline{{z}_{2}}$=$\frac{3}{a+5}$-（10-a²）i
则z₁+$\overline{{z}_{2}}$=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i+$\frac{3}{a+5}$-（10-a²）i=$\frac{3}{a+5}$+$\frac{2}{1-a}$+[（2a-5）-（10-a²）]i，
若z₁+$\overline{{z}_{2}}$是实数，则2a-5-（10-a²）=0且a≠1且a≠-5，
由2a-5-（10-a²）=0得a²+2a-15=0得a=3或a=-5（舍），
则z₁=$\frac{2}{1-a}$+（2a-5）i=-1+i，
则|z₁|=$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查复数的有关概念和基本运算，利用复数几何意义转化为点的坐标是解决本题的关键．