Question

（I）证明函数f(x)=x+

1

x

在[1，+∞）上单调递增；
（II）试利用（I）中的结论，求函数y=

x2+4

+

1

x2+4

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f′（x）=1-

1

x2

＞0即可证得结论；
（Ⅱ）令g（x）=

x2+4

+

1

x2+4

，利用（I）中的结论，即可求得其最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=1-

1

x2

，
∴x≥1时，

1

x2

≤1，
∴f′（x）=1-

1

x2

≥0，
∴f（x）=x+

1

x

在[1，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）令u=

x2+4

，
则u≥2，
由（I）中的结论可知，f（u）=u+

1

u

在[2，+∞）上单调递增；
∵当x=0时，u_min=2，
∴f（u）_min=f（2）=2+

1

2

=

5

2

．
∴y=

x2+4

+

1

x2+4

的最小值为

5

2

．

点评：本题考查导数在判断函数单调性中的作用，考查理解与运算能力，属于中档题．