Question

16．设f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）=f（x+1）-f（x），如果f（1）=lg$\frac{3}{2}$，f（2）=lg15，则f（2016）=-1．

Answer 1

分析 由已知条件推导出f（x）是一个周期为6的函数，所以f（2016）=f（6×336+0）=f（0），利用已知条件求解即可．

解答 解：（1）f（1）=lg$\frac{3}{2}$，f（2）=lg15，
∴f（3）=f（2）-f（1）=lg15-（lg3-lg2）=lg5+lg2=1，
f（4）=f（3）-f（2）=1-lg15，
f（5）=f（4）-f（3）=1-lg15-1=-lg15，
f（6）=f（5）-f（4）=-lg15-（1-lg15）=-1，
f（7）=f（6）-f（5）=-1+lg15=lg$\frac{3}{2}$，
∴f（x）是一个周期为6的函数，
∴f（2016）=f（6×336+1）=f（0），f（2）=f（1）-f（0），
∴f（0）=f（1）-f（2）=lg$\frac{3}{2}$-lg15=lg$\frac{1}{10}$=-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数的周期性和对数性质的灵活运用．