Question

11．若函数f（x）=x²+bln（x+1）在其定义域内既有极大值又有极小值，则实数b的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意先确定函数的定义域，再求导f′（x）=2x+$\frac{b}{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$，从而可得b=-（2x²+2x）在（-1，+∞）上有两个不同的解，作函数的图象解得．

解答 解：函数f（x）=x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=2x+$\frac{b}{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$，
∵函数f（x）=x²+bln（x+1）在其定义域内既有极大值又有极小值，
∴f′（x）=2x+$\frac{b}{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$=0在（-1，+∞）上有两个不同的解，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）上有两个不同的解，
即b=-（2x²+2x）在（-1，+∞）上有两个不同的解，
作函数g（x）=-（2x²+2x）在（-1，+∞）上的图象如下，
，
结合图象可知，0＜b＜$\frac{1}{2}$；
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，方程的解可化为函数的图象的交点问题，从而解得．