Question

已知椭圆的左焦点为，点F到右顶点的距离为
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l与椭圆交于A、B两点，且与圆相切，求△AOB的面积为时求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆的左焦点为，点F到右顶点的距离为，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（II）当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程，利用直线l与圆相切，确定m，k的关系，再利用韦达定理及△AOB的面积为，即可求得直线l的斜率．
解答：解：（I）由题意得c=，a+c=
∴，∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的方程为；
（II）当直线l的斜率不存在时，l的方程为，代入椭圆方程，可得，此时|AB|=，△AOB的面积为S==，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线l与圆相切，∴=，即
直线与椭圆方程联立，消去y可得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∴|AB|=×=×
∴×××=，∴k=±
即直线l的斜率为±．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．