Question

16．已知函数f（x）=x²-2x|x-a|（|a|≤1）
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间
（2）设f（x）在x∈[-1，1]上的最大值为M（a），最小值为m（a），若M（a）-m（a）≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=x²-2x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}-2x，x＜1\\-{x}^{2}+2x，x≥1\end{array}\right.$，结合二次函数的图象和性质，可得f（x）的单调递增区间
（2）函数f（x）=x²-2x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}-2ax，x＜a\\-{x}^{2}+2ax，x≥a\end{array}\right.$，结合二次函数的图象和性质分类讨论满足M（a）-m（a）≤4的a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-2x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}-2x，x＜1\\-{x}^{2}+2x，x≥1\end{array}\right.$，
∵y=3x²-2x的图象是开口朝上且以x=$\frac{1}{3}$为对称轴的抛物线，
∴当x＜1时，函数f（x）在[$\frac{1}{3}$，1）为递增；
y=-x²+2x的图象是开口朝下且以x=1为对称轴的抛物线，
∴当x≥1时，函数f（x）为减函数，
综上所述：a=1时，求f（x）的单调递增区间为[$\frac{1}{3}$，1）；
（2）函数f（x）=x²-2x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}-2ax，x＜a\\-{x}^{2}+2ax，x≥a\end{array}\right.$，
当-1≤a≤0时，
当x＜a时，y=3x²-2ax的图象是开口朝上且以x=$\frac{1}{3}$a≥a为对称轴的抛物线，函数f（x）为减函数；
当x≥a时，y=-x²+2ax的图象是开口朝下且以x=a为对称轴的抛物线，函数f（x）为减函数；
故f（x）在x∈[-1，1]上的最大值为M（a）=f（-1）=3+2a，最小值为m（a）=f（1）=-1+2a，
此时M（a）-m（a）=4≤4恒成立，
当a＞0时，
当x＜a时，y=3x²-2ax的图象是开口朝上且以x=$\frac{1}{3}$a＜a为对称轴的抛物线，函数f（x）在[-1，$\frac{1}{3}$a]上为减函数，在[$\frac{1}{3}$a，a]为增函数；
当x≥a时，y=-x²+2ax的图象是开口朝下且以x=a为对称轴的抛物线，函数f（x）为减函数；
由f（$\frac{1}{3}$a）=$-\frac{1}{3}$a²，f（1）=-1+2a，
若0＜a≤2$\sqrt{3}$-3，f（1）≤f（$\frac{1}{3}$a），
故f（x）在x∈[-1，1]上的最大值为M（a）=f（-1）=3+2a，最小值为m（a）=f（1）=-1+2a，
此时M（a）-m（a）=4≤4恒成立，
若2$\sqrt{3}$-3＜a≤1，f（1）＞f（$\frac{1}{3}$a），
故f（x）在x∈[-1，1]上的最大值为M（a）=f（-1）=3+2a，最小值为m（a）=f（$\frac{1}{3}$a）=$-\frac{1}{3}$a²，
此时M（a）-m（a）≤4无解，
综上所述，-1≤a≤2$\sqrt{3}$-3

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．