Question

18．已知0＜x＜$\frac{1}{2}$，求函数y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$的最小值．

Answer 1

分析 先求导y′=$\frac{2（x+1）x（1-2x）-（x+1）^{2}（1-4x）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$=$\frac{（x+1）（5x-1）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$，从而由导数判断函数的单调性，从而求最值．

解答 解：∵y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$，
∴y′=$\frac{2（x+1）x（1-2x）-（x+1）^{2}（1-4x）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$
=$\frac{（x+1）（5x-1）}{{x}^{2}（1-2x）^{2}}$，
∴当x∈（0，$\frac{1}{5}$）时，y′＜0，
当x∈（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）时，y′＞0，
故函数y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$在（0，$\frac{1}{5}$）上是减函数，在[$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2}$）上是增函数；
故函数y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$的最小值为$\frac{（\frac{1}{5}+1）^{2}}{\frac{1}{5}×（1-2×\frac{1}{5}）}$=12；
故函数y=$\frac{（x+1）^{2}}{x（1-2x）}$的最小值为12．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法，属于中档题．