Question

【题目】已知动圆与轴相切于点，过点，分别作动圆异于轴的两切线，设两切线相交于，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过的直线与曲线相交于不同两点，若曲线上存在点，使得成立，求实数的范围.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）设过点、与动圆相切的切点分别为，计算得到，得到答案.

（2）设直线的方程为，联立方程得到，，计算，，代入椭圆方程计算得到答案.

（1）设过点、与动圆相切的切点分别为，

则，，，

故，

由、、的坐标可知，，，

由椭圆的定义可知，点是以、为焦点，长轴长为4的椭圆（不包括长轴端点）.

设曲线的方程为：，即，，，

故曲线的轨迹方程为

（2）由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为，

由消得，

，且，

设，，，则，，

，

，，

，

当时，，直线为轴，满足.

当，时，，，

代入椭圆方程得，化简得，

，且，，且，

综上可得的取值范围为：.