如图.点P是双曲线C1:和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点.Q是圆C2在x轴下方的一点.且∠F1QP=60o.其中F1.F2是双曲线C1的两个焦点.则双曲线C1的离心率为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，点P是双曲线C₁：

和圆C₂：x²+y²=a²+b²的一个交点，Q是圆C₂在x轴下方的一点，且∠F₁QP=60^o，其中F₁、F₂是双曲线C₁的两个焦点，则双曲线C₁的离心率为．

【答案】分析：由题意可得，三角形F₁F₂P是有一个内角为60°角的直角三角形，根据此直角三角形，结合双曲线的离心率的定义即可求得双曲线C₁的离心率

．
解答：

解：由题意可得，三角形F₁F₂P是有一个内角为60°角的直角三角形，
∵在此直角三角形中，∠P=90°，∠F2=60°
∴双曲线C₁的离心率=

，
故填：

．
点评：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．应着重培养学生灵活运用知识的能力．结合双曲线的离心率的定义即可求得双曲线C1的离心率．

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我们定义双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与直线y=±b的交点为“虚近点”，如图点P是双曲线C在第一象限的渐近点，直线y=b与双曲线C的左、右分支分别交于点A、B，F₁、F₂分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点．
（1）求证：PF₁⊥PF₂；
（2）求证：PF₁平分∠APO；
（3）你能否在未证明（1）下，直接证明（2）？请写下你的理由．

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