Question

已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求证：
(1)a²+b²≥;
(2)+≥8;
(3)+ ≥;
(4) ≥.

Answer 1

证明见解析

由 a、b∈（0，+∞），
得≤ab≤≥4.
（当且仅当a=b=时取等号）
(1)∵a²+b²=(a+b)²-2ab=1-2ab≥1-2×=，
∴a²+b²≥.
(2)∵+≥≥8,∴+≥8.
(3)由(1)、(2)的结论，知
+ =a²+b²+4++
≥+4+8=,∴+ ≥.
(4) =++ab+
=+++2≥2++2=.