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    【题目】已知点M，N，P，Q在同一个球面上，且，则该球的表面积是，则四面体MNPQ体积的最大值为（ ）

    A.10B.C.12D.5

    【答案】A

    【解析】

    由已知可得△PNM为直角三角形,画出图形,可知要使四面体MNPQ体积取最大值,则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上,由球的表面积求得半径,利用勾股定理求出三棱锥的高,可得四面体MNPQ体积的最大值.

    如图,

    由MN=3,NP=4,MP=5,

    可知，所以∠PNM=90°

    设四面体MNPQ的外接球的半径为R,由球的表面积是,

    得,即R.

    要使四面体MNPQ体积取最大值,

    则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上,

    设QO′=h.

    在Rt△OO′P中,OP2=OO′2+O′P2,

    ∴R2=(h﹣R)2,即,得h=5,

    ∴四面体MNPQ体积的最大值为.

    故选：A.

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    （1）讨论函数的单调性；

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