Question

已知f（x）=x²+px+q（p，q∈R），若集合{x|f（x）=x}={-2，1}，则不等式2|x+p|+|x+q|≤10的解集为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用,集合

分析：可由二次方程的根与系数的关系，求得p=2，q=-2，再分当x≥2时，当-2＜x＜2时，当x≤-2时去绝对值，解不等式，最后求并集即可．

解答： 解：由于集合{x|f（x）=x}={x|x²+（p-1）x+q=0}
={-2，1}，
即有1-p=1-2，1×（-2）=q，
即p=2，q=-2，
则不等式2|x+p|+|x+q|≤10即为2|x+2|+|x-2|≤10，
当x≥2时，2（x+2）+x-2≤10，即有x≤

8

3

，则2≤x≤

8

3

；
当x≤-2时，-2（x+2）+2-x≤10，即有x≥-4，则-4≤x≤-2；
当-2＜x＜2时，2（x+2）+2-x≤10，即有x≤4，则-2＜x＜2．
故有-4≤x≤

8

3

．
故答案为：[-4，

8

3

]

点评：本题考查绝对值不等式的解法，同时考查集合的概念，二次方程的根与系数的关系，属于中档题．