Question

9．如图，在底面是正三角形的三棱锥P-ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角D-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥AB，PA⊥AC，由此能证明PA⊥平面ABC．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ABC所成角．
（Ⅲ）求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角D-AB-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=$\sqrt{2}$，∴PA⊥AB，…（1分）
∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，
∵PC=$\sqrt{2}$，∴PA⊥AC，…（2分）
∵AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，
∴PA⊥平面ABC． …（3分）
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），P（0，0，1），…（4分）
∴D（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{2}$）．…（5分）
平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），…（6分）
记BD与平面ABC所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{1}{2}$，…（7分）
∴$θ=\frac{π}{6}$，
∴BD与平面ABC所成角为$\frac{π}{6}$．…（8分）
（Ⅲ）设平面ABD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{4}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=x=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{m}$=（0，2，-$\sqrt{3}$）．   …（11分）
记二面角D-AB-C的大小为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角D-AB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．