Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=

1

2

f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=

1 2 -2x2， 0≤x＜1 - 21- | x -   3 2  |，  1≤x＜2.

函数g（x）=x³+3x²+m．若?s∈[-4，2），?t∈[-4，-2），不等式f（s）-g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-12]
• B、（-∞，-4]
• C、（-∞，8]
• D、（-∞，

  31

  2

  ]

Answer 1

考点：其他不等式的解法,特称命题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由f（x+2）=

1

2

f（x）得f（-

1

2

）=2f（

3

2

）=2×（-2）=-4，x∈[-4，-3]，f（-

5

2

）=2f（-

1

2

）=-8，
?s∈[-4，2），f（s）_最小=-8，借助导数判断：?t∈[-4，-2），g（t）_最小=g（-4）=m-16，
不等式f（s）-g（t）≥0恒成立，得出f（s）_小=-8≥g（t）_最小=g（-4）=m-16，求解即可．

解答： 解：∵当x∈[0，2）时，f（x）=

1 2 -2x2， 0≤x＜1 - 21- | x -   3 2  |，  1≤x＜2.

，
∴x∈[0，2），f（0）=

1

2

为最大值，
∵f（x+2）=

1

2

f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈[-2，0]，
∴f（-2）=2f（0）=2×

1

2

=1，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-4）=2f（-2）=2×1=2，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_最大=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈[-2，0]，
∴f（-

1

2

）=2f（

3

2

）=2×（-2）=-4，
∵x∈[-4，-3]，
∴f（-

5

2

）=2f（-

1

2

）=-8，
∵?s∈[-4，2），
∴f（s）_最小=-8，
∵函数g（x）=x³+3x²+m，
∴g′（x）=3x²+6x，
3x²+6x＞0，x＞0，x＜-2，
3x²+6x＜0，-2＜x＜0，
3x²+6x=0，x=0，x=-2，
∴函数g（x）=x³+3x²+m，在（-∞，-2）（0，+∞）单调递增．
在（-2，0）单调递减，
∴?t∈[-4，-2），g（t）_最小=g（-4）=m-16，
∵不等式f（s）-g（t）≥0，
∴-8≥m-16，
故实数满足：m≤8，
故选C．

点评：本题考查了函数的图象的应用，判断最大值，最小值问题，来解决恒成立和存在性问题，属于中档题．