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设集合M是满足下列条件的函数f(x)的集合:①f(x)的定义域为R;②存在a<b,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分别单调递增,在(a,b)上单调递减.
(I)设f1(x)=x•|x-2|,f2(x)=x3-3x2+3x,判断f1(x),f2(x)是否在集合M中,并说明理由;
(II)求证:对任意的实数t,f(x)=都在集合M中;
(Ⅲ)是否存在可导函数f(x),使得f(x)与g(x)=f'(x)-x都在集合M中,并且有相同的单调区间?请说明理由.
【答案】分析:(I)对于函数f1(x)=,结合函数的图象可知f1(x)∈M;由于f2′(x)=3(x-1)2≥0,则f2(x)∉M;
(II)按照集合M满足的条件只需证明两条:①在定义域为R;②存在a<b,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分别单调递增,在(a,b)上单调递减;
(Ⅲ)假设存在满足条件的可导函数f(x),验证f(x)与g(x)=f′(x)-x是否有相同的单调区间即可.
解答:解:(I)对于函数f1(x)=,满足:①f(x)定义域R,②f(x)在(-∞,1),(2,+∞)内单调递增,在(1,2)内单调递减,故f1(x)∈M;
对于函数f2(x)=x3-3x2+3x,由于f2′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
故f2(x)=x3-3x2+3x在R上为增函数,故f2(x)∉M;
(II)证明:由题意知,的定义域为R,且
由于h(x)=x2-2tx-1的△=(-2t)2-4×1×(-1)=4t2+4>0恒成立,
恒有两个零点,即满足:存在a<b,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分别单调递增,在(a,b)上单调递减
故对任意的实数t,f(x)=都在集合M中;
(Ⅲ)假设存在可导函数f(x),使得f(x)与g(x)=f'(x)-x都在集合M中,
则f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分别单调递增,在(a,b)上单调递减,故f'(x)<0的解集是(a,b)
则g(x)=f'(x)-x=(x-a)(x-b)-x为二次函数不满足:存在a<b,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分别单调递增,在(a,b)上单调递减,
故不存在可导函数f(x),使得f(x)与g(x)=f'(x)-x都在集合M中,并且有相同的单调区间.
点评:本题考查新定义,考查导数知识的运用,解题的关键是理解新定义,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是满足下列条件的函数f (x)的全体:
(1)f (x)既不是奇函数也不是偶函数;
(2)函数f (x)有零点.那么在函数
①f (x)=|x|+1,②f (x)=2x一1,③f (x)=
x-2,x>2
0,x=2
x+2,x<2
④f (x)=x2一x一1+lnx
中,属于M的有
②③④
②③④
(写出所有符合的函数序号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

设集合M是满足下列条件的函数f(x)的集合:①f(x)的定义域为R;②存在a<b,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分别单调递增,在(a,b)上单调递减.
(I)设f1(x)=x•|x-2|,f2(x)=x3-3x2+3x,判断f1(x),f2(x)是否在集合M中,并说明理由;
(II)求证:对任意的实数t,f(x)=
-x+tx2+1
都在集合M中;
(Ⅲ)是否存在可导函数f(x),使得f(x)与g(x)=f'(x)-x都在集合M中,并且有相同的单调区间?请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体:(1)当x∈[0,+∞)时,函数值为非负实数;(2)对于任意的s、t,都有f(s)+f(t)≤f(s+t);在三个函数f1(x)=x,f2(x)=2x-1,f3(x)=ln(x+1)中,属于集合M的是
f1(x)=x
f1(x)=x

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科目:高中数学 来源:北京市海淀区2010届高三上学期期中考试数学文科试题 题型:044

设集合M是满足下列条件的函数f(x)的集合:

①f(x)的定义域为R;

②存在ab,使f(x)在(-∞,a),(b,+∞)上分别单调递增,在(a,b)上单调递减.

(Ⅰ)设f1(x)=x·|x-2|,f2(x)=x3-3x2+3x,判断f1(x),f2(x)是否在集合M中,并说明理由;

(Ⅱ)求证:对任意的实数t,f(x)=都在集合M中;

(Ⅲ)是否存在可导函数f(x),使得f(x)与g(x)=(x)-x都在集合M中,并且有相同的单调区间?请说明理由.

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