Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=

1

4

，a₅=

1

32

（Ⅰ）试求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b_n=

n

an

（n∈N^*），试求{b_n}的前n项和公式T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等比数列的通项公式an=a1qn-1，将问题化归为求解a₁和q即可，设出等比数列的首项和公比，由已知列方程组求解；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b_n=

n

an

，显然是一个等差数列{n}和一个等比数列{2ⁿ}的积数列，采用错位相减法求前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，由a₂=

1

4

，a₅=

1

32

得，

a1q= 1 4 a1q4= 1 32

，解得

a1= 1 2 q= 1 2

，
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，n∈N^*；
（Ⅱ）由an=(

1

2

)n，得b_n=

n

an

=

n

1 2n

=n•2n，
∴Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2ⁿ    （1）
（1）×2得：
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1    （2）
（1）-（2）得：
-Tn=21+22+23+…+2n-n×2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
整理得：Tn=(n-1)•2n+1+2，n∈N*．

点评：本题属常规题型，求解过程中须注意，与等比数列有关的消元问题通常采用乘除消元，以利简化，对于一个等差数列和一个等比数列的积数列，采用错位相减法求和，是中档题．