Question

【题目】正三棱锥P﹣ABC中，CM=2PM，CN=2NB，对于以下结论：
①二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（ ，π）；
②若MN⊥AM，则PC与平面PAB所成角的大小为 ；
③过点M与异面直线PA和BC都成 的直线有3条；
④若二面角B﹣PA﹣C大小为 ，则过点N与平面PAC和平面PAB都成 的直线有3条．
正确的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①设底面正三角形的边长为1，过B作BD⊥PA，连结CD，则∠BDC是二面角B﹣PA﹣C大小，因为底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB= ，所以当点P无限靠近点O时，即高无限小时，∠BDC接近 ，所以二面角B﹣PA﹣C大小的取值范围是（ ，π），所以①正确．
②因为CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，则PB⊥AM，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因为AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因为P﹣ABC是正三棱锥，所以必有PC⊥面PAB，所以PC与平面PAB所成角的大小为 ，所以②正确．
③因为因为P﹣ABC是正三棱锥，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以过点M与异面直线PA和BC都成 的直线有两条，所以③错误．
④若二面角B﹣PA﹣C大小为 ，则∠BDC= ，此时∠EDC= ，（其中E是BC的中点）， ，所以此时直线BC与平面PAC和平面PAB都成 ，又因为平面PAC和平面PAB的法向量的夹角为 ，此时适当调整过N的直线，可以得到两条直线使得过点N与平面PAC和平面PAB都成 ，所以满足过点N与平面PAC和平面PAB都成 的直线有3条． 所以④正确．
所以答案是：①②④．