Question

1．若一个直角三角形的三边长a＜b＜c，b²=ac，则该三角形的最小角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 根据三角形三边关系判断得到A为最小角，C为直角，利用勾股定理列出关系式，与已知等式联立求出$\frac{a}{c}$的值，即为sinA的最小值．

解答 解：∵一个直角三角形的三边长a＜b＜c，
∴C为直角，A为最小角，
∴sinA的最小值为$\frac{a}{c}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\\{{b}^{2}=ac}\end{array}\right.$，
∴a²+ac=c²，即$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{a}{c}$=1，
解得：$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 此题考查了余弦定理，勾股定理，以及三角形三边关系，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．