Question

△ABC所在的平面外一点P，过P作PO⊥平面，垂足为O，连结PA、PB、PC．

(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是△ABC的________心；

(3)若P点到三边AB、BC、CA的距离相等，且O点在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；

(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则O是AB边的________点．

Answer 1

答案：(1)外;(2)垂;(3)内;(4)中
解析：

(1)因为斜线长相等，则射影长相等，故为外心． 　　(2)连结AO、BO．由AP⊥PB，AP⊥PC，得AP⊥平面PBC， 　　于是AP⊥BC．又BC⊥PO， 　　故BC⊥平面APO，于是BC⊥AO． 　　同理可证AC⊥BO，故O为垂心． 　　(3)设PD、PE、PF分别为点P到三边AB、BC、CA的距离， 　　则由Rt△POD、Rt△POE、Rt△POF的斜边分别相同，且共一条直角边知，另一条直角边OD、OE、OF必相等． 　　又点O在△ABC的内部，故O为△ABC的内心． 　　(4)由(1)知，O为△ABC的外心．因直角三角形的外心在斜边的中点处， 　　故O为△ABC的斜边AB的中点．