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已知函数
对定义域内的任意x都有f(2-x)+f(2+x)=0成立.
(1)求实数m的值;
(2)当x∈(b,a)时,f(x)的取值范围恰为(1,+∞),求实数a,b的值.
【答案】分析:(1)先由条件:“f(2-x)+f(2+x)=0”得:化简得:(m2-1)x2=0对定义域内的任意x成立,即可求得m 值;
(2)先写出f(x)的表达式:,由f(x)的取值范围恰为(1,+∞),对a进行分类讨论:当0<a<1时,当a>1时,分别求得实数a,b的值即可.
解答:解:(1)由条件得:〔(1分)〕
∴(m2-1)x2=0对定义域内的任意x成立〔(3分)〕
∴m2-1=0〔(4分)〕
∴m=1或m=-1〔(5分)〕
当m=1时不成立
∴m=-1〔(7分)〕
(2)
由f(x)的取值范围恰为(1,+∞),
当0<a<1时,x∈(b,a)的值域为(0,a),〔(8分)〕
函数在x∈(b,a)上是减函数,所以,这是不可能的.〔(10分)〕
当a>1时,x∈(b,a)的值域为(a,+∞),〔(11分)〕
所以,函数在x∈(b,a)上是减函数,并且b=3〔(13分)〕
所以,,解得〔(15分)〕
综上:,b=3〔(16分)〕
点评:本小题主要考查对数函数图象与性质的综合应用,考查运算求解能力,(2)问解答关键是对a分类讨论后应用函数的单调性.
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