【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设函数.当时,若函数在上为增函数,求实数的取值范围.
【答案】(1) 在上单调递减,在,上单调递增.
(2) .
【解析】
(1)求导,根据正负讨论导函数符号,确定对应单调区间,(2)先利用导数研究正负,根据正负去绝对值将化为分段函数,再利用导数分段研究单调性,利用变量分离法转化为求对应函数最值问题,最后根据最值确定实数的取值范围.
(1)对求导得
(i)若,当时,,当或时,
所以在上单调递增,在,上单调递减
(ii)若,当时,,当或时,
所以在上单调递减,在,上单调递增.
(2)记函数,
考察函数的符号
对函数求导得
当时,恒成立
当时,
从而
∴在上恒成立,故在上单调递减.
∴
∴
又曲线在上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知
存在唯一的,使,
所以当时,,当时,
∴,∴
由上述讨论过程可知曲线在上连续不断,又函数为增函数
所以在上恒成立
①当时,在上恒成立,即在上恒成立,
记 ,,则,
当变化时,,变化情况如下表:
∴
故“在上恒成立”只需,即
②当时,,
当时,在上恒成立
综合①②,知当时,函数在为增函数
故实数的取值范围是.
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【题目】某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,,599,600从中抽取60个样本,如下提供随机数表的第4行到第6行:
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据,则得到的第6个样本编号
A. 522B. 324C. 535D. 578
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求圆的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)若直线与圆交于两点,是圆上不同于两点的动点,求面积的最大值.
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【题目】甲、乙两人各进行次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率,
(Ⅰ)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;
(Ⅱ)求甲恰好比乙多击中目标次的概率.
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【题目】某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员,并从参与调查的会员中随机抽取名了解情况并给予物质奖励.调查发现抽取的名会员消费金额(单位:万元)都在区间内,调查结果按消费金额分成组,制作成如下的频率分布直方图.
(1)求该名会员上半年消费金额的平均值与中位数;(以各区间的中点值代表该区间的均值)
(2)若再从这名会员中选出一名会员参加幸运大抽奖,幸运大抽奖方案如下:会员最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖概率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则会员获得元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,会员需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金元,如果未中奖,则所获得的奖金为元.若参加幸运大抽奖的会员所获奖金(单位:元)用表示,求的分布列与期望值.
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【题目】某电视台在互联网上征集电视节目的现场参与观众,报名的共有12000人,分别来自4个地区,其中甲地区2400人,乙地区4605人,丙地区3795人,丁地区1200人,主办方计划从中抽取60人参加现场节目,请设计一套抽样方案.
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【题目】已知函数在上是增函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
若函数f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则x2﹣ax+3a>0且f(2)>0,根据二次函数的单调性,我们可得到关于a的不等式,解不等式即可得到a的取值范围.
若函数f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,
则当x∈[2,+∞)时,
x2﹣ax+3a>0且函数f(x)=x2﹣ax+3a为增函数
即,f(2)=4+a>0
解得﹣4<a≤4
故选:C.
【点睛】
本题考查的知识点是复合函数的单调性,二次函数的性质,对数函数的单调区间,其中根据复合函数的单调性,构造关于a的不等式,是解答本题的关键.
【题型】单选题
【结束】
10
【题目】圆锥的高和底面半径之比,且圆锥的体积,则圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
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