Question

15．如图，已知F₁、F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点，过F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF₁F₂=30°．求：
（1）双曲线的离心率；
（2）双曲线的渐近线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：Rt△PF₂F₁中，|PF₁|=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{cos∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}c}{3}$，|PF₂|=$\frac{1}{2}$|PF₁|=$\frac{2\sqrt{3}c}{3}$，根据双曲线的定义求得|PF₁|-|PF₂|=2a，求得a和c的关系，即可求得双曲线的离心率；
（2）根据双曲线的性质$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}}{a}$═$\sqrt{（\frac{c}{a}）^{2}-1}$，将e=$\frac{c}{a}$代入即可求得双曲线的渐近线方程．

解答 解：（1）∵∠PF₂F₁=90°，∠PF₁F₂=30°．
在Rt△PF₂F₁中，|PF₁|=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{cos∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{2c}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}c}{3}$，
|PF₂|=$\frac{1}{2}$|PF₁|=$\frac{2\sqrt{3}c}{3}$，
又|PF₁|-|PF₂|=2a，即$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c=2a，$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
（2）对于双曲线，有c²=a²+b²，
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{（\frac{c}{a}）^{2}-1}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$．
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x．

点评 本题考查双曲线的定义及其简单几何性质，求双曲线渐近线方程的思路和方法，恰当利用几何条件是解决本题的关键，属于中档题．