Question

下列几个命题，其中正确的命题有

①④

．（填写所有正确命题的序号）
①函数y=log₂（x-3）+2的图象可由y=log₂x的图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得到；
②函数f(x)=

2x-3

x+1

的图象关于点（1，2）成中心对称；
③在区间（0，+∞）上函数y=x

1

2

的图象始终在函数y=x的图象上方；
④任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．

Answer 1

分析：①利用函数图象平移变换理论即可判断①的真假；②先将函数化为复合函数形式，再利用基本函数图象的性质通过平移变换找其对称中心；③由于两函数有两个明显的交点，可判断在两交点之间，函数y=x

1

2

的图象始终在函数y=x的图象下方；④利用函数的定义，即一个x只能有一个y值与之对应，可判断④的真假

解答：解：①将y=log₂x的图象向上平移2个单位，得到y=log₂x+2的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到y=log₂（x-3）+2的图象，故①正确；
②函数f(x)=

2x-3

x+1

=

2(x+1)-5

x+1

=2-

5

x+1

，此函数是由反比例函数y=-

5

x

向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到的，由反比例函数的对称中心为（0，0）知，此函数的对称中心为（-1，2），故②错误；
③∵点（0，0），（1，1）是函数y=x

1

2

的图象与函数y=x的图象的两个交点，且

2

＜

1

2

，故③错误；
④由函数的定义，对于定义域内的任意一个x，由唯一的一个函数值与其对应，故任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．④正确
故答案为①④

点评：本题 考查了函数图象的平移变换理论及其应用，反比例函数及其复合函数的对称中心位置，函数图象的交点与位置关系的判断，函数的定义，命题真假的判断方法