Question

用数学归纳法证明等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

对一切自然数n都成立．

Answer 1

分析：要证明等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

对一切自然数n都成立，则我们要先证明n=1时成立，再假设n=k时成立，进而n=k+1时等式也成立．

解答：解：①当n=1时，cos

x

2

=

sinx

2 sin x 2

②假设当n=k时，等式成立，即cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2k

=

sinx

2ksin x 2k

则当n=k+1时，
cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2k

•cos

x

2k+1

=

sinx

2ksin x 2k

•cos

x

2k+1

=

sinx

2k•2•sin x 2k+1 cos x 2k+1

•cos

x

2k+1

=

sinx

2nsin x 2k+1

即此时等式也成立，
故等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

对一切自然数n都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．