Question

9．已知关于点（x，y）的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{2x-y+2≤0}\\{4x-y+5≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，则D内使得z=x²+y²取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为{（$-\frac{3}{2}，-1$），（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）}．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，联立方程组求出三角形两顶点的坐标，再求出过原点与直线2x-y+2=0垂直的直线方程，进一步求出垂足的坐标得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤1}\\{2x-y+2≤0}\\{4x-y+5≥0}\end{array}\right.$作出平面区域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{4x-y+5=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，解得A（-1，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{4x-y+5=0}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得B（$-\frac{3}{2}，-1$）．
则可行域内B点到原点的距离最大；
又过原点与直线2x-y+2=0垂直的直线方程为$y=-\frac{1}{2}x$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{2x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得两直线交点为（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）．
∴D内使得z=x²+y²取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为{（$-\frac{3}{2}，-1$），（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）}．
故答案为：{（$-\frac{3}{2}，-1$），（$-\frac{4}{5}，\frac{2}{5}$）}．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．