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设复数z=3cosθ+isinθ.求函数y=tg(θ-argz)(0<θ<
π2
)的最大值以及对应的θ值.
分析:由z=3cosθ+isinθ求得tg(argz)=
sinθ
3cosθ
=
1
3
tgθ
,再由两角差的正切建立关于tgθ的函数,y=tg(θ-argz)=
tgθ-
1
3
tgθ
1+
1
3
tg2θ
=
2
3
tgθ
+tgθ
,再由基本不等式法求解.
解答:解:由0<θ<
π
2
得tgθ>0.
由z=3cosθ+isinθ得tg(argz)=
sinθ
3cosθ
=
1
3
tgθ
.(3分)
故y=tg(θ-argz)=
tgθ-
1
3
tgθ
1+
1
3
tg2θ
(6分)=
2
3
tgθ
+tgθ

3
tgθ
+tgθ≥2
3

2
3
tgθ
+tgθ
3
3
.(9分)
当且仅当
3
tgθ
=tgθ(0<θ<
π
2
)时,即tgθ=
3
时,上式取等号.
所以当θ=
π
3
时,函数y取得最大值
3
3
.(12分)
点评:本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设复数z=-3cosθ+2isinθ
(1)当θ=
4
3
π
时,求|z|的值;
(2)若复数z所对应的点在直线x+3y=0上,求
2cos2
θ
2
-1
2
sin(θ+
π
4
)
的值.

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科目:高中数学 来源:2011年上海市长宁区高考数学一模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

设复数z=-3cosθ+2isinθ
(1)当时,求|z|的值;
(2)若复数z所对应的点在直线x+3y=0上,求的值.

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科目:高中数学 来源:2011年广东省高考数学模拟冲刺试卷(二)(解析版) 题型:解答题

设复数z=-3cosθ+2isinθ
(1)当时,求|z|的值;
(2)若复数z所对应的点在直线x+3y=0上,求的值.

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科目:高中数学 来源:高考数学一轮复习必备(第104-106课时):第十四章 复数-复数的有关概念(解析版) 题型:解答题

设复数z=3cosθ+isinθ.求函数y=tg(θ-argz)(0<θ<)的最大值以及对应的θ值.

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