【题目】已知,
,其中
是自然常数,
.
(1)当时,求
的极值,并证明
恒成立;
(2)是否存在实数,使
的最小值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)求出函数f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出f(x)的极小值,令,求出h(x)的最大值,从而证出结论即可;(2)求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围,求出函数f(x)的最小值,求出a的值即可.
试题解析:
(1)证明:∵,
.∴当
时,
,此时
单调递减;当
时,
,此时
单调递增.∴
的极小值为
.即
在
上的最小值为
.令
,
,当
时,
,
在
上单调递增,∴
,∴
恒成立.
(2)假设存在实数,使
有最小值
,
.
①当时,
在
上单调递减,
,
(舍去),∴
时,不存在
使
的最小值为3.
②当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,∴
,
,满足条件.
③当时,
在
上单调递减,
,(舍去),∴
时,不存在
使
的最小值为
.
综上,存在实数,使得当
时,
有最小值
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点,
关于原点对称,
恰为抛物线
:
的焦点,点
在抛物线
上,且线段
的中点恰在
轴上,
的面积为8.若抛物线
上存在点
使得
,则实数
的最大值为( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中,
是
的中点,
,其周长为
,若点
在线段
上,且
.
(1)建立合适的平面直角坐标系,求点的轨迹
的方程;
(2)若是射线
上不同两点,
,过点
的直线与
交于
,直线
与
交于另一点
.证明:
是等腰三角形.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意任取2人,求至少有一名男生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知f(x)=3|x+2|﹣|x﹣4|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)设m,n,k为正实数,且m+n+k=f(0),求证:mn+mk+nk≤ .
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