【题目】为了解某品种一批树苗生长情况,在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本,测量树苗高度(单位:cm),经统计,其高度均在区间[19,31]内,将其按[19,21),[21,23),[23,25),[25,27),[27,29),[29,31]分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗.
(1)求图中a的值;
(2)已知所抽取的这120棵树苗来自于A,B两个试验区,部分数据如下列联表:
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A,B两个试验区有关系,并说明理由;
(3)用样本估计总体,若从这批树苗中随机抽取4棵,其中优质树苗的棵数为X,求X的分布列和数学期望EX.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中.)
【答案】(1)0.025;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)根据直方图数据,有,从而可得结果;(2)根据直方图完成列联表,利用公式求得,与临界值比较即可得结果;(3)由已知,这批树苗为优质树苗的概率为,且服从二项分布,由二项分布的期望公式可得结果.
(1)根据直方图数据,有,
解得.
(2)根据直方图可知,样本中优质树苗有,列联表如下:
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 10 | 20 | 30 |
非优质树苗 | 60 | 30 | 90 |
合计 | 70 | 50 | 120 |
可得.
所以,没有99.9%的把握认为优质树苗与A,B两个试验区有关系.
(3)由已知,这批树苗为优质树苗的概率为,且X服从二项分布B(4,),
;;
;;
.
所以X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
故数学期望EX=.
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【题目】下列四个命题中,正确的命题是_________.
①已知点,则的面积为10.
②若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的倍
③过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.
④直线与直线的距离是.
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【题目】设集合是非空集合的两个不同子集.
(1)若,且是的子集,求所有有序集合对的个数;
(2)若,且的元素个数比的元素个数少,求所有有序集合对的个数.
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【题目】某市将举办2020年新年大型花卉展览活动,举办方将建一块占地10000平方米的矩形展览场地ABCD,设计要求该场地的任何一边长度不得超过200米.场地中间设计三个矩形展览花圃①,②,③,其中花圃②与③是全等的矩形,每个花圃周围均是宽为5米的赏花路径.其中①号花圃的一边长度为25米.如图所示,设三个花圃占地总面积为S平方米,矩形展览场地的BC长为x米.
(1)试将S表示为x的函数,并写出定义域;
(2)问应该如何设计矩形场地的边长,使花圃占地总面积S取得最大值.
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【题目】如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线经过点.曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方),求的值.
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【题目】为了解某品种一批树苗生长情况,在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本,测量树苗高度(单位:cm),经统计,其高度均在区间[19,31]内,将其按[19,21),[21,23),[23,25),[25,27),[27,29),[29,31]分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗.
(1)求图中a的值;
(2)已知所抽取的这120棵树苗来自于A,B两个试验区,部分数据如下列联表:
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A,B两个试验区有关系,并说明理由;
(3)用样本估计总体,若从这批树苗中随机抽取4棵,其中优质树苗的棵数为X,求X的分布列和数学期望EX.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中.)
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【题目】某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表,经过进一步统计分析,发现y与x具有线性相关关系.
价格x(元/kg) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日需求量y(kg) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
(1)根据上表给出的数据,求出y与x的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,当价格元/kg时,日需求量y的预测值为多少?
(参考公式:线性回归方程,其中,.)
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