Question

已知动点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,记的轨迹为曲线.

（I）求曲线的方程；

（II）设直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为,试问：当变化时，直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）对于任意的，直线与轴交于定点．

【解析】

试题分析：（I）找出题中的相等关系，列出，化简即得曲线的方程；（II）将直线方程代入曲线方程，消去得，记，则，且.特别地，令，则.此时，直线与轴的交点为．若直线与轴交于一个定点，则定点只能为．再证明对于任意的，直线与轴交于定点，可利用直线的两点式方程结合分析法．

试题解析：（I）设是点到直线的距离,根据题意,点的轨迹就是集合

       

由此得              

将上式两边平方,并化简得      

即，所以曲线的方程为  

（II）由得，即.  

记，

则，且.    

特别地，令，则.

此时，直线与轴的交点为．         

若直线与轴交于一个定点，则定点只能为．

以下证明对于任意的，直线与轴交于定点．

事实上，经过点的直线方程为.

令，得只需证， 

即证，即证.    

因为，   

所以成立．

这说明，当变化时，直线与轴交于定点．           …

考点：1、曲线方程求法；2、直线与圆锥曲线位置关系；3、定点问题．