若数列{an]满足an2-an-12=p(p为常数.n≥2.n∈N*).则称数列{an}为等方数列.p为公方差.已知正数等方数列{an}的首项a1=1且a1.a2.a5成等比数列.a1≠a2.设集合A={Tn|Tn=1a1+a2+1a2+a3+-+1an+an+1.1≤n≤100.n∈N*}.取A的非空子集B.若B的元素都是整数.则B为“梦幻子集 .那么集合A中的“梦� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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若数列{a_n]满足a_n²-a_n-1²=p（p为常数，n≥2，n∈N^*），则称数列{a_n}为等方数列，p为公方差，已知正数等方数列{a_n}的首项a₁=1且a₁，a₂，a₅成等比数列，a₁≠a₂，设集合A={T_n|T_n=

a1+a2

a2+a3

+…+

an+an+1

，1≤n≤100，n∈N^*}，取A的非空子集B，若B的元素都是整数，则B为“梦幻子集”，那么集合A中的“梦幻子集”的个数为

．

考点：等比数列的性质

专题：计算题,新定义,等差数列与等比数列

分析：根据正数等方差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列，a₁≠a₂，确定数列的通项，利用裂项法求和，可得A中的整数元素为1，2，3，4，5，6，即可求得结论．

解答： 解：设数列{a_n}为正数等方差数列，p为公方差，
则a₂²-a₁²=p，a₃²-a₂²=p，a₄²-a₃²=p，a₅²-a₄²=p则a₅²-a₁²=4p，
∵a₁=1，∴a₂=

1+p

，a₅=

1+4p

，
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴1+p=

1+4p

，
∴p=0或p=2
∵a₁≠a₂，∴p=2，
∴a_n=

1+2(n-1)

2n-1

，
∴

an+an+1

2n-1

2n+1

（

2n+1

2n-1

）
∴T_n=

a1+a2

a2+a3

+…+

an+an+1

（

-1+

+…+

2n+1

2n-1

）
=

（

2n+1

-1）．
∴A中的整数元素为1，2，3，4，5，6，
∵A的非空子集B，若B的元素都是整数，
∴集合A中的“梦幻子集”的个数为2⁶-1=63，
故答案为：63．

点评：本题考查新定义，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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